今天，小编给大家分享一份原创居家物理实验，这个实验的特点在于，竟然只需要手机、被子、和床就可以完成（所以这个实验约等于我每天的咸鱼生活了），是不是很神奇呢！一起来看一下吧：
预备阶段
- 材料
- 内置三轴陀螺仪的手机（也就是几乎所有手机）
- 应用市场搜索下载PhyPhox
- 床、被子，用来给跌落的手机减震
- 目标
- 验证刚体转动欧拉方程，并测量主轴惯量
如图，以符合安卓系统习惯的方式在手机上建立参考系：
由于手机自身的对称性，我们不妨假设手机的三个惯量主轴恰好沿$x, y, z$方向，相应主轴转动惯量分别为$I_1, I_2, I_3$，目测发现$I_3 > I_1 > I_2$。
手机抛出后有喜闻乐见的欧拉方程：
\[\begin{aligned} I_{1}{\dot {\omega }}_1+(I_{3}-I_{2})\omega _{2}\omega _{3}&=0\\ I_{2}{\dot {\omega }}_2+(I_{1}-I_{3})\omega _{3}\omega _{1}&=0\\ I_{3}{\dot {\omega }}_3+(I_{2}-I_{1})\omega _{1}\omega _{2}&=0 \end{aligned}\]假设牛顿力学成立，空气阻力忽略，可以有四个理论预言：
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从运动学方程看出
\[\frac{\dot{\omega_1}}{\omega_2\omega_3},\quad \frac{\dot{\omega_2}}{\omega_1\omega_3}, \quad \frac{\dot{\omega_3}}{\omega_1\omega_2}\]三个无量纲量均应不随时间变化，将上面三个量分别记为$\eta_1, \eta_2, \eta_3$
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记 \(\frac{I_2}{I_1} = \alpha, \quad \frac{I_3}{I_1} = \beta\)。 则应该有：
\[\alpha - \beta = \eta_1, \quad \frac{\beta - 1}{\alpha} = \eta_2, \quad \frac{1-\alpha}{\beta} = \eta_3\] -
从三个主轴转动惯量间相对大小看出 \(\alpha < 1, \quad \beta > 1\)
更进一步，如果手机密度均匀，且长宽高大致为：
\[L_x = 7.8\text{cm}, L_y = 16.4 \text{cm}, L_z = 0.7\text{cm}\]则可以由此估计出
\[\alpha \approx \text{0.23}, \quad \beta \approx \text{1.22}\]
实验部分
启动PhyPhox，按下角速度记录按钮，朝着被子扔手机，导出数据，重复多次。
结论
如上图，全局来看，$\eta$数值并不一直保持常数，而是会出现几个短暂的奇异点，这个也很好理解，因为$\eta$的定义中使用了除法，如果$\omega_x$降到0，$\eta_y$与$\eta_z$的相对误差都会突破天际，图线上表示为“尖峰”（见图中红色箭头）。值得庆幸的是，在两个相邻尖峰之间，我们的$\eta$基本是个常数。
选像上图这样$\eta$近似为常数的区间，取平均，得到$\eta_i$测量值，再多次实验分析下误差，得到：
\[\eta_1 = -0.98 \pm 0.03,\quad \eta_2 = 0.92 \pm 0.01,\quad \eta_3 = 0.632 \pm 0.005\]从三个$\eta_i$可以反解出$\alpha, \beta$。三个方程两个未知数，这要求三个方程自冾。先从理论预言第二部分的后两个等式反解出$\alpha, \beta$
\[\alpha = \frac{1- \eta_3}{1+\eta_2 \eta_3}, \quad \beta = \frac{1 + \eta_2}{1 + \eta_2 \eta_3}\]得
\[\alpha = 0.233 \pm 0.003, \quad \beta = 1.21 \pm 0.01\]经过简单验算，在误差范围内确实是自冾的。于是，三个主轴转动惯量（的相对值）就算出来啦，和密度均匀时的估计结果比较一下，发现效果真的不错，相对误差竟然跌破1%！没有什么卵用但是很成功的实验又增加了！
附录
- 进一步的实验，可以将手机绑在大石头上，利用梯度下降找极值的方法，把$\eta_i$优化到最平稳，算出大石头的主轴方向相对于手机陀螺仪坐标架的转角（要用三个欧拉角描述转动，写起程序来还挺繁的。我试了一下把手机绑iPad上，能做出结果，但是数据质量很差的丫子）。
- 实在是没想出什么能在家方便地测出主轴惯量绝对值的方法QAQ，所以还是只能测他们的比值。
如果老哥老姐们有更好的办法，别忘了在评论区提醒小编喔(ﾉ*･ω･)ﾉ
